Question

（2013•绵阳二模）已知函数f（x），若对给定的三角形ABC，它的三边的长a、b、c均在函数f（x）的定义域内，都有f（a）、f（b）、f（c）也为某三角形的三边的长，则称f（x）是△ABC的“三角形函数”．下面给出四个命题：
①函数f₁（x）=

x

，x∈（0，+∞）是任意三角形的“三角形函数”；
②若定义在（O，+∞）上的周期函数f₂（x）的值域也是（0，+∞），则f₂（x）是任意三角形的“三角形函数”；
③若函数f₃（x）=x³-3x+m在区间（

2

3

，

4

3

）上是某三角形的“三角形函数”，则m的取值范围是（

62

27

，+∞）
④若a、b、c是锐角△ABC的三边长，且a、b、c∈N₊，则f₄（x）=x²+lnx（x＞0）是△ABC的“三角形函数”．
以上命题正确的有

①④

（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：判断函数f（x）是不是“三角形函数”，只须对任意的三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，判断f（a），f（b），f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．
①f₁（x）=

x

中，设△的三边长分别为a，b，c，且a+b＞c，有f（a）+f（b）=

a

+

b

＞

a+b

＞

c

=f（c）；
②f₂（x）中，举反例说明命题不成立；
③f₃（x）中，利用导函数判断函数在x∈（

2

3

，

4

3

）上的增减性并比较大小，从而确定m的取值范围；
④锐角△ABC的三边长a、b、c，设a≤c，b≤c，验证f（a）+f（b）＞f（c）是否成立．

解答：解：①对于f₁（x）=

x

，x∈（0，+∞），设△的三边长分别为a，b，c，且a+b＞c，不妨设a≤c，b≤c，则f（a）+f（b）=

a

+

b

＞

a+b

，
f（c）=

c

＜

a+b

，∴f（a）+f（b）＞f（c），命题正确；
②对于定义在（O，+∞）上的周期函数f₂（x），值域是（0，+∞），设T（T＞0）是f₂（x）的一个周期，则存在n＞m＞0，有f₂（m）=1，f₂（n）=2，
取正整数λ＞

n-m

T

，则λT+m，λT+m，n，是△的三边，又f₂（λT+m）=1，f₂（λT+m）=1，f₂（n）=2不能组成三角形，∴命题错误；
③对于函数f₃（x）=x³-3x+m，∵f3′（x）=3x²-3，∴f₃（x）在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，又x∈（

2

3

，

4

3

），
∴f₃（1）＜f₃（

2

3

）＜f₃（

4

3

）；要使f₃（x）是某三角形的“三角形函数”，须f₃（

4

3

）=(

4

3

)3-3×

4

3

+m＞0，∴m＞

44

27

，∴命题错误；
④对于锐角△ABC的三边长a、b、c，设a≤c，b≤c，∴c＜a+b≤2c；∴ln（a+b）＞lnc，有a²+b²-c²＞0，a、b、c∈N₊，
∴当a≥2，且b≥2时，有0＜

1

a

+

1

b

≤1；∴

1

1 a + 1 b

≥1，即ln

1

1 a + 1 b

≥0，∴ln

ab

a+b

≥0；即ln（ab）-ln（a+b）≥0，∴lna+lnb≥ln（a+b）＞lnc；
当a=1时，b=2，c=2；当a=1时，b=1，c=1；
综上，知f（a）+f（b）＞f（c）；命题正确．
故答案为：①④

点评：本题通过命题真假的判定，考查了新定义下的函数模型的应用问题，是比较容易出错的题目．