Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=t（S_n-a_n+1）（t＞0），且4a₃是a₁与2a₂的等差中项．
（Ⅰ）求t的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n=1时，S₁=t（S₁-a₁+1），所以a₁=t，
当n≥2时，S_n=t（S_n-a_n+1）①
S_n-1=t（S_n-1-a_n-1+1），②
①-②，得a_n=t•a_n-1，即．
故{a_n}是首项a₁=t，公比等于t的等比数列，所以a_n=tⁿ，…（4分）
故，
由4a₃是a₁与2a₂的等差中项，可得8a₃=a₁+2a₂，即8t³=t+2t²，
因t＞0，整理得8t²-2t-1=0，解得t=或t=-（舍去），
所以t=，故a_n=．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得b_n==（2n+1）×2ⁿ，
所以T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）×2^n-1+（2n+1）×2ⁿ，③
2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）×2ⁿ+（2n+1）×2ⁿ⁺¹，④
③-④，得-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）×2ⁿ⁺¹ …（8分）
=-2+2ⁿ⁺²-（2n+1）×2ⁿ⁺¹=-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹…（11分）
所以T_n=2+（2n-1）×2ⁿ⁺¹．…（12分）
分析：（Ⅰ）当n≥2时，S_n=t（S_n-a_n+1），再写一式，两式相减，可得{a_n}是首项a₁=t，公比等于t的等比数列，利用4a₃是a₁与2a₂的等差中项，即可求得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ），得b_n=（2n+1）×2ⁿ，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和T_n．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，确定数列为等比数列是关键．