Question

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]单调递增，在区间[1，2）单调递减．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若A（x₀，f（x₀））在函数f（x）的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f（x）的图象上；
（Ⅲ）是否存在实数b，使得函数g（x）=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）在区间[0，1]单调递增，在区间[1，2）单调递减，得到在x=1处取得极大值即f'（1）=0．从而求解．
（Ⅱ）先求点A（x₀，f（x₀））关于直线x=1的对称点B的坐标验证即可．
（Ⅲ）函数g（x）=bx²=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，等价于方程x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1恰有3个不等实根，转化为x⁴-4x³+（4-b）x²=0有三个根求解，要注意0是其中一根则转化为方程x⁴-4x³+（4-b）x²=0有2个非零且不等的实数根求解．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]单调递增，
在区间[1，2）单调递减，所以x=1时，取得极大值．
所以f'（1）=0．（2分）
因为f'（x）=4x³-12x²+2ax，
所以4-12+2a=0．解得a=4．（4分）
（Ⅱ）因为点A（x₀，f（x₀））关于直线x=1的对称点B的坐标为（2-x₀，f（x₀）），
且f（2-x₀）=（2-x₀）⁴-4（2-x₀）³+4（2-x₀）²-1x₀⁴-4x₀³+4x₀²-1=f（x₀）．（8分）
所以点A关于直线x=1的对称点B也在函数f（x）的图象上．
（Ⅲ）因为函数g（x）=bx²=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，
等价于方程x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1恰有3个不等实根．
由x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1得x⁴-4x³+（4-b）x²=0．
因为x=0是其中一个根，
所以方程x⁴-4x³+（4-b）x²=0有2个非零且不等的实数根．（12分）
故由

△=16-4(4-b)＞0 4-b≠0

得b＞0且b≠4.（14分）

点评：本题主要考查用极值求参数的值，要明确单调性，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．