Question

（2013•淄博一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P-EC-D的大小为

π

6

？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P-EC-D的大小为

π

6

．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，结合向量的数量积求出二面角P-EC-D的大小，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（I）CM与BN交于F，连接EF．
由已知可得四边形BCNM是平行四边形，
所以F是BN的中点．
因为E是AB的中点，
所以AN∥EF．…（7分）
又EF?平面MEC，AN?平面MEC，
所以AN∥平面MEC．…（9分）
（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．
又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，
如图建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），E（

3

，0，0），C（0，2，0），P（

3

，-1，h），

CE

=（

3

，-2，0），

EP

=（0，-1，h），设平面PEC的法向量为

n1

=（x，y，z）．
则

CE • n1 =0 EP • n1 =0

，∴

3 x-2y=0 -y+hz=0

，
令y=

3

h，∴

n1

=（2h，

3

h，

3

），又平面ADE的法向量

n2

=（0，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

7h2+3

=

3

2

，解得h=

7

7

，
∴在线段AM上是否存在点P，当h=

7

7

时使二面角P-EC-D的大小为

π

6

．

点评：本题考查存在性问题，直线与平面平行的判断，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．