Question

5．已知函数f（x_t）=x_t²+bx_t．
（1）若b=2，且x_t=log₂t，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，求f（x_t）的最大值；
（2）当y=f（x_t）与y=f（f（x_t））有相同的值域时，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，化简f（x_t）的表达式，利用二次函数的最值求解最大值；
（2）求出y=f（x_t）与y=f（f（x_t））的最小值，利用值域相同，列出不等式即可求b的取值范围．

解答 解：（1）函数$f（{x_t}）={x_t}^2+b{x_t}$．b=2，且x_t=log₂t，$t∈[\frac{1}{2}，2]$，
∴x_t∈[-1，1]，
∴$f（{x_t}）={x_t}^2+2{x_t}$，对称轴为x_t=-1，
可得x_t∈[-1，1]的最大值为f（1）=3．（5分）
（2）$f（{x_t}）={x_t}^2+b{x_t}$，x_t∈R
当${x_t}=-\frac{b}{2}$时，${f_{min}}（{x_t}）=-\frac{b^2}{4}$，∴y=f（x_t）的值域为$[-\frac{b^2}{4}，+∞）$，
∵$y=f（{f（{x_t}）}）={f^2}（{x_t}）+bf（{x_t}）$
令u=f（x_t），则$u∈[-\frac{b^2}{4}，+∞）$
函数y=f（f（x_t））即为：y=u²+bu，$u∈[-\frac{b^2}{4}，+∞）$
若y=f（x_t）与y=f（f（x_t））有相同的值域，则等价于它们有相同的最小值
即满足：$-\frac{b^2}{4}≤-\frac{b}{2}$
所以：b∈（-∞，0]∪[2，+∞）（10分）

点评 本题考查二次函数的性质的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．