设数列{an}的前n项和Sn,若对于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n.
(1)求数列{an}的首项与递推关系式an+1=f(an);
(2)先阅读下面的定理,若数列有递推关系:an+1=Aan+B,其中A、B为常数,且A≠1,B≠0,则数列{an-}是以A为公比的等比数列,请你在第(1)题的基础上应用本定理,求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
解:(1)令n=1,a1=S1=2a1-3,∴a1=3. 又Sn+1=2an+1-3(n+1),Sn=2an-3n. 两式相减得an+1=2an+1-2an-3, ∴an+1=2an+3. (2)按照定理A=2,B=3,则=-3, ∴{an+3}是公比为2的等比数列,其首项为a1+3=6. ∴an+3=6×2n-1.∴an=6×2n-1-3. (3)Sn=a1+a2+a3+…+an =(6×20-3)+(6×21-3)+(6×22-3)+…+(6×2n-1-3) =(6×20)+(6×21)+(6×22)+…+(6×2n-1)-3n =6×(20+21+22+…+2n-1)-3n =6×-3n=6×2n-3n-6. 思路解析:(1)要建立an+1和an的关系,可由an+1=Sn+1-Sn得出; (2)给出了一个定理,需同学们自己阅读,考查了观察问题、研究问题的能力; (3)可用拆项法求和. |
解决此类问题需综合数列的有关知识,并要有较强的创新能力,同学们要加强这方面的练习. |
科目:高中数学 来源: 题型:
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5•2n |
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