Question

（本小题共14分）如图,在四面体中,平面,.是的中点,是的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若点在线段上，且满足,求证：平面；

（Ⅲ）若,求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从证明线面垂直出发：又，（Ⅱ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从证明线线平行出发，这一般可利用平面几何知识得以证明：取BD中点O则易得四边形为平行四边形，所以，所以PQ//面BDC. （Ⅲ）求二面角，一般利用空间向量求解，先建立空间直角坐标系，设点的坐标，求出平面法向量，再利用向量数量积求夹角.

试题解析：（Ⅰ）, 2分

且

4分

（Ⅱ）证明：如图所示,取BD中点O，且P是BM中点，

所以且；

取CD的四等分点H，使DH=3CH， 且AQ =3QC,

所以, 且，

所以，四边形为平行四边形，

所以，且,

所以PQ//面BDC. 9分

（Ⅲ）如图建系,

则,,, 10分

设面的法向量

,

,即

令,则

设面的法向量 11分

即

令, 则 12分

所以二面角的大小为 14分

考点：面面垂直判定定理，线面平行判定定理，利用空间向量求二面角