Question

设数列{a_n}满足a₁=0且

1

1-an+1

-

1

1-an

=1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1- an+1

n

，记Sn=

n

k=1

bk，证明：S_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由{

1

1-an

}是公差为1的等差数列，知

1

1-an

=

1

1-a1

+(n-1)×1=n，由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由bn=

1- an+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，能够证明S_n＜1．

解答：解：（Ⅰ）{

1

1-an

}是公差为1的等差数列，

1

1-an

=

1

1-a1

+(n-1)×1=n，
∴an=

n-1

n

（n∈N^*）．
（Ⅱ）bn=

1- an+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Sn=(

1

1

-

1

2

)  +(

1

2

-

1

3

) +…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．