Question

（2009•红桥区二模）定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）成中心对称，对任意的实数x都有f（x）=-

1

f(x+ 3 2 )

，且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2009）的值为（　　）

A．-1

B．0

C．2

D．3

Answer 1

分析：由已知中定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）成中心对称，对任意实数x都有f（x）=-

1

f(x+ 3 2 )

，我们易判断出函数f（x）是周期为3的周期函数，进而由f（-1）=1，f（0）=-2，我们求出一个周期内函数的值，进而利用分组求和法，得到答案．

解答：解：∵f（x）=-

1

f(x+ 3 2 )

，
∴f（x+

3

2

）=-

1

f(x)

则f（x+3）=-

1

f(x+ 3 2 )

=f（x）
所以，f（x）是周期为3的周期函数．
则f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，f（

1

2

）=-

1

f(-1)

=-1
∵函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）成中心对称，
∴f（1）=-f（-

5

2

）=-f（

1

2

）=1
∵f（0）=-2
∴f（1）+f（2）+f（3）=1+1-2=0
∴f（1）+f（2）+…+f（2009）=f（1）+f（2）=1+1=2
故选C．

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，其中根据已知中对任意实数x都有f（x）=-

1

f(x+ 3 2 )

，判断出函数的周期性，是解答本题的关键，属于基础题．