Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），且a₁=2，a₂=1
（Ⅰ）求k的值和S_n的表达式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，n，使

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

成立？若存在，则求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题设条件S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），且a₁=2，a₂=1，利用S₂=kS₁+2，建立方程求出k，再利用a_n=S_n-S_n-1，研究数列的性质，根据数列的性质得出S_n的表达式；
（II）假设存在正整数m，n，使

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

成立，由不等式进行等价转化，得出正整数m，n满足的条件，若能解出正整数m，n的值，则说明假设成立，否则说明不存在正整数m，n，使

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

成立．

解答：解：（I）∵S₂=kS₁+2，∴a₁+a₂=ka₁+2又a₁=2，a₂=1，2+1=2k+2，∴k=

1

2

…（2分）
∴Sn+1=

1

2

Sn+2①当n≥2时，Sn=

1

2

Sn-1+2②①-②，得an+1=

1

2

an(n≥2)
又a2=

1

2

a1，由a₁=2≠0可得a_n≠0（n∈N^*），∴

an+1

an

=

1

2

  (n∈N*)
于是{a_n}是等比数列，其首项为a₁=2，公比为

1

2

，所以Sn=

2•[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4(1-

1

2n

)…（6分）
（II）不等式

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

，即

4(1- 1 2n )-m

4(1- 1 2n+1 )-m

＜

1

2

．，整理得

2n(4-m)-4

2n(4-m)-2

＜

1

2

，
令t=2ⁿ（4-m），则不等式变为

t-4

t-2

＜

1

2

，解之得2＜t＜6即2＜2ⁿ（4-m）＜6…（8分）
假设存在正整数m，n使得上面的不等式成立，由于2ⁿ为偶数，4-m为整数，
则只能是2ⁿ（4-m）=4∴

2n=2 4-m=2

或

2n=4 4-m=1

因此，存在正整数m=2， n=1； 或 m=3， n=2， 使 

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

．…（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，解题的关键是充分利用题设中的恒等式进行变换，解得数列的性质，求出数列的和的表达式，本题第二小问是一个存在性问题的探究，此类题一般是假设所研究的结论成立，由此寻求其等价条件，得出参数所满足的不等式或者方程，由此方程或者不等式求解参数的可能值，若能求出符合条件的值，则说明存在这样的参数使得结论成立