Question

已知f(x)=sinx•(cosx-sinx)+

1

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

8

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用辅助角公式将f（x）=sinx（cosx-sinx）+

1

2

转化为f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）即可求得f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

8

]，可求得2x+

π

4

的范围，利用正弦函数的单调性质即可求得f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=sinx（cosx-sinx）+

1

2

=

1

2

sin2x-

1-cos2x

2

+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

8

]，
∴2x+

π

4

∈[-

π

4

，

π

2

]，
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）∈[-

1

2

，

2

2

]，
∴f（x）的值域为[-

1

2

，

2

2

]．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查正弦函数的单调性，求得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）是关键，考查化简与运算能力，属于中档题．