【题目】设函数.
(1)若函数在
处有极值,求函数
的最大值;
(2)①是否存在实数,使得关于
的不等式
在
上恒成立?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由;
②证明:不等式
【答案】(1)最大值为;(2)①
的取值范围是
;②证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)由在
处有极值得
,从而求得
,然后由
正负,研究
的单调性,得极值,最值;(2)①这类问题,可假设存在,不等式
在
上恒成立,考虑到
,因此最好有
时,
,则恒成立结论为真,由此研究
单调性,求导
,注意到
,因此分类
,
,
分别研究
的正负,得
的单调性,可得结论;②要证明此不等式,可能需要用到上面函数的结论,由上面的推理
,取
得不等式:
,令
,则
,因此只要证得
是递减数列,不等式的右边就证得,为此作差
,
不等式的左边,由,则有
.这里用到了不等式的放缩法.
试题解析:(1)由已知得:,且函数
在
处有极值
,当
时,
单调递增
当时,
单调递减
所以函数的最大值为
(2)①由已知得:
()若
,则
时,
所以在
上为减函数
在
上恒成立;
()若
,则
时,
所以在
上为增函数
,不能使
在
上恒成立;
()若
,则
时,
当时,
所以在
上为增函数,
此时
所以不能使在
上恒成立
综上所述,的取值范围是
②由以上得:
取得:
,令
则
因此
又
故
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某产品按行业生产标准分成个等级,等级系数
依次
,其中
为标准
,
为标准
.已知甲厂执行标准
生产该产品,产品的零售价为
元/件;乙厂执行标准
生产该产品,产品的零售价为
元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
(1)已知甲厂产品的等级系数的概率分布如下所示:
且的数学期望
,求
的值;
(2)为分析乙厂产品的等级系数,从该厂生产的产品中随机抽取
件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数的数学期望;
(3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.注:①产品的“性价比”;
②“性价比”大的产品更具可购买性.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方
图:
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料,在犯错误的概率不超过
的前提下,你是否有理由认为“体育迷”与性别有关?
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求
的分布列,期望
和方差
.
附:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了了解某校学生喜欢吃辣是否与性别有关,随机对此校100人进行调查,得到如下的列表:已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜欢吃辣的学生的概率为.
喜欢吃辣 | 不喜欢吃辣 | 合计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合计 | 100 |
(1)请将上面的列表补充完整;
(2)是否有99.9%以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关?说明理由:
下面的临界值表供参考:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知定圆,定直线
,过
的一条动直线
与直线相交于
,与圆
相交于
,
两点,
是
中点.
(Ⅰ)当与
垂直时,求证:
过圆心
;
(Ⅱ)当时,求直线
的方程;
(Ⅲ)设,试问
是否为定值,若为定值,请求出
的值;若不为定值,请说明理由.
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