Question

如图，在平面直角坐标系xOY中，点A（x₁，y₁）在单位圆O上．∠xOA=α且α∈（

π

6

，

π

2

）．
（1）若cos（α+

π

3

）=-

2 2

3

，求y₁的值；
（2）如图表示，B（x₂，y₂）也是单位圆O上的点，且∠AOB=

π

3

，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为C，D，记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂，设f（α）=S₁+S₂，求函数f（α）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数的定义有y₁=sinα，由已知可得sin（α+

π

3

）=

1

3

，从而由y₁=sinα=sin[（α+

π

3

）-

π

3

]利用两角差的正弦公式即可代入求值．
（2）由y₁=sinα，利用二倍角公式可求得S₁，由定义得x₂，y₂，又由α∈（

π

6

，

π

2

），得α+

π

3

∈（

π

2

，

5π

6

），于是可求S₂，从而由三角函数中的恒等变换应用可求f（α）=S₁+S₂=

3

4

sin(2α-

π

6

)，由α∈（

π

6

，

π

2

），可得2α-

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（α）的最大值．

解答： 解：（1）由三角函数的定义有y₁=sinα，…2分
∵cos（α+

π

3

）=-

2 2

3

，且α∈（

π

6

，

π

2

）．
∴sin（α+

π

3

）=

1

3

，…4分
∴y₁=sinα=sin[（α+

π

3

）-

π

3

]
=sin（α+

π

3

）cos

π

3

-cos（α+

π

3

）sin

π

3

=

1

2

×

1

3

+

2 2

3

×

3

2

=

1+2 6

6

…6分
（2）由y₁=sinα，得S₁=

1

2

x1y1=

1

2

cosαsinα=

1

4

sin2α，…7分
由定义得x₂=cos（α+

π

3

），y₂=sin（α+

π

3

），
又由α∈（

π

6

，

π

2

），得α+

π

3

∈（

π

2

，

5π

6

），
于是，S₂=-

1

2

x₂y₂=-

1

2

cos（α+

π

3

）sin（α+

π

3

）=-

1

4

sin（2α+

2π

3

）…9分
∴f（α）=S₁+S₂=

1

4

sin2α-

1

4

sin（2α+

2π

3

）=

1

4

sin2α-

1

4

（sin2αcos

2π

3

+cos2αsin

2π

3

）
=

3

8

sin2α-

3

8

cos2α=

3

4

（

3

2

sin2α-

1

2

cos2α）=

3

4

sin(2α-

π

6

)，…11分
由α∈（

π

6

，

π

2

），可得2α-

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
于是当2α-

π

6

=

π

2

，即α=

π

3

时，f（α）_max=

3

4

…13分

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦函数的图象和性质，考查了转化思想，属于中档题．