Question

已知平面上有四点O，A，B，C，满足

OA

+

OB

+

OC

=

0

，

OA

•

OB

=

OB

•

OC

=

OC

•

OA

=-1，则△ABC的周长是（　　）

• A、3
• B、6
• C、3

  6

• D、9

  6

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用

分析：先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决．

解答： 解：平面上有四点O，A，B，C，满足

OA

+

OB

+

OC

=

0

，
∴O是△ABC的重心，
∵

OA

•

OB

=

OB

•

OC

，
∴

OB

•（

OA

-

OC

）=

OB

•

CA

=0，
即：

OB

⊥

CA

，
同理可得：

OC

⊥

CA

，

OA

⊥

BC

，
即O是垂心，
故△ABC是正三角形，
∵

OA

•

OB

=

OB

•

OC

=

OC

•

OA

=-1，
令外接圆半径R，则：R²cos（∠AOB）=R²cos（

2π

3

）=-1
即：R=

2

即：

a

sinA

=

a

sin π 3

=2R=2

2

，
即：a=

6

，
故周长：3a=3

6

，
故选：C

点评：本题考查了平面向量的有关知识以及解三角形的有关知识，属于中档题．