Question

选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分）
（1）已知圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离是________．
（2）若关于x的不等式|a-1|+2≥|x+1|+|x-3|存在实数解，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，∴x²+y²=2x．即（x-1）²+y²=1，∴圆心为（1，0）．
∵ρsinθ+2ρcosθ=1，∴2x+y-1=0．
由点到直线的距离公式得：=．即为所求的圆的圆心到直线的距离．
故答案为．
（2）∵|x+1|+|x-3|≥|x+1-（x-3）|=4，∴|x+1|+|x-3|的最小值为4．
由已知关于x的不等式|a-1|+2≥|x+1|+|x-3|存在实数解，∴a满足|a-1|+2≥4，解得a≤-1，或a≥3．
∴实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
分析：（1）先将极坐标方程转化为直角坐标系的方程，再利用点到直线的距离公式即可．
（2）利用绝对值不等式的性质求出|x+1|+|x-3|的最小值，进而求出a的取值范围．
点评：本题考查了极坐标下点到直线的距离和含绝对值不等式，充分利用转化思想是解决问题的关键．