Question

【题目】已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．给出如下函数：①f（x）=x；②f（x）=2x；③f（x）= ；④f（x）=x2；则属于集合M的函数个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①若f（x）=x，
则f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，
∴x+T=Tx，不可能成立，不存在非零常数T，使f（x+T）=Tf（x）成立，则①不属于集合M的函数；
②f（x）=2x；
则f（x+T）=2x+T=2T2x ，
由f（x+T）=Tf（x）得2T2x=T2x ，
即2T=T，
作出函数y=2x和y=x的图象，由图象知两个函数没有交点，
即方程2T=T无解，
∴不存在非零常数T，使f（x+T）=Tf（x）成立，则②不属于集合M的函数；
③若f（x）= ，
则f（x+T）=（ ）x+T=（ ）T（ ）x ，
由f（x+T）=Tf（x）得（ ）T（ ）x=T（ ）x ，
即（ ）T=T，
作出函数y=（ ）x和y=x的图象，由图象知两个函数有1个交点，
即方程（ ）T=T有一个解，
∴存在非零常数T，使f（x+T）=Tf（x）成立，则③属于集合M的函数；
④f（x）=x2；
则f（x+T）=（x+T）2 ，
由f（x+T）=Tf（x）得（x+T）2=Tx2 ，
即x2+2xT+T2=Tx2 ，
则方程x2+2xT+T2=Tx2 ， 不可能恒成立，
∴不存在非零常数T，使f（x+T）=Tf（x）成立，则④不属于集合M的函数．
故选：A．