Question

【题目】已知函数f（x）=﹣ x3+bx2+cx+bc．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值﹣ ，试确定b、c的值；
（2）若b=1，f（x）存在单调递增区间，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣x2+2bx+c，

∵f（x）在x=1处有极值﹣ ，

∴f（1）=﹣ +b+c+bc=﹣ ，f'（1）=﹣1+2b+c=0，

解得：b=1，c=﹣1（舍去），或b=﹣1，c=3，

故b=﹣1，c=3；

（2）解：b=1时，f（x）=﹣ x3+x2+cx+c，

f′（x）=﹣x2+2x+c，

若f（x）存在单调递增区间，

则△=4+4c＞0，解得：c＞﹣1

【解析】（1）先求函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在x=1处有极值，建立关于b和c方程组，解之即可；（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质求出c的范围即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．