Question

已知椭圆C₁：和动圆C₂：，直线与C₁和C₂分别有唯一的公共点A和B．
（I）求的取值范围；
（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C₂的方程．

Answer 1

（Ⅰ）[1，2）（Ⅱ）1，x²+y²=2

解析试题分析：（Ⅰ）将直线方程与椭圆方程联立消去整理成关于的一元二次方程，因为直线与椭圆只有一个公共点，则判别式为0，列出关于m，k的方程，再由直线与圆只有一个公共点知，直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径找出r,m,k关系，将这两个关于m,k的方程联立，消去m，将r表示成k的函数，利用函数求值域的方法，求出r范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得A,B两点的横坐标，利用弦长公式将AB用r表示出来，利用函数求最值的方法，求出|AB|的最大值及取最大值时的r值，从而写出圆的方程.
试题解析：（Ⅰ）由，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²﹣1）=0．
由于l与C₁有唯一的公共点A，故△₁=64k²m²﹣16（1+4k²）（m²﹣1）=0，  2分
从而m²=1+4k² ①
由，得（1+k²）x²+2kmx+m²﹣r²=0．
由于l与C₂有唯一的公共点B，故△₂=4k²m²﹣4（1+k²）（m²﹣r²）=0，  4分
从而m²=r²（1+k²） ②
由①、②得k²=．
由k²≥0，得1≤r²＜4，所以r的取值范围是[1，2）．  6分
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）的解答可知
x₁=﹣=﹣，x₂=﹣=﹣．
|AB|²=（1+k²）（x₂﹣x₁）²=（1+k²）•=•k²•（4﹣r²）²
=•（4﹣r²）²=，  9分
所以|AB|²=5﹣（r²+）（1≤r＜2）．
因为r²+≥2×2=4，当且仅当r=时取等号，
所以当r=时，|AB|取最大值1，此时C₂的方程为x²+y²=2．  12分
考点：直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，最值问题，转化与化归思想，运算求解能力