已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率与双曲线=1的一条渐近线的斜率相等以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线sin·x+cos·y-l=0相切(为常数).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(3,0)的直线与椭圆C相交TA,B两点,设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数t取值范围.
(1) ;(2) 或.
解析试题分析:(1)此问主要考察椭圆与双曲线的性质,椭圆的离心率与双曲线的性质相等,则,利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径,解出,然后利用,解出,得到方程;
(2)典型的直线与圆锥曲线相交问题,首先方程联立,写出根与系数的关系,代入向量相等的坐标表示,得出点坐标,利用点在椭圆上,代入方程,然后利用,利用弦长公式,得到的范围,与之前得到的与的关系式,求出的范围.
试题解析:(I)由题意知双曲线的一渐近线斜率值为
,
因为,所以.故椭圆的方程为 5分
(Ⅱ)设?方程为?
由?整理得.
由,解得.
, 7分
∴ 则,
, 由点在椭圆上,代入椭圆方程得
① 9分
又由,即,
将,,
代入得则,
, ∴② 11分
由①,得,联立②,解得
∴或 13分
考点:1.圆锥曲线的性质;2.直线与圆锥曲线相交问题
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已知椭圆C1:和动圆C2:,直线与C1和C2分别有唯一的公共点A和B.
(I)求的取值范围;
(II )求|AB|的最大值,并求此时圆C2的方程.
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设椭圆C:的离心率,右焦点到直线1的距离,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A、B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.
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直线y=kx+b与曲线交于A、B两点,记△AOB的面积为S(O是坐标原点).
(1)求曲线的离心率;
(2)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
(3)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
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如图,矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=2,E,F,M,N分别是矩形四条边的中点,G,H分别是线段ON,CN的中点.
(1)证明:直线EG与FH的交点L在椭圆W:上;
(2)设直线l:与椭圆W:有两个不同的交点P,Q,直线l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T,求的最大值及取得最大值时m的值.
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已知双曲线-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程.
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圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).
(1)求点P的坐标;
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线交于A,B两点,若的面积为2,求C的标准方程.
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