Question

直线y＝kx＋b与曲线交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）．
（1）求曲线的离心率；
（2）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（3）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

Answer 1

（1）离心率．（2）当时， S取到最大值1．
（3）或或或．

解析试题分析：（1）转化成标准方程，明确曲线为椭圆，，进一步得到椭圆的离心率.
（2）设点A的坐标为，点B的坐标为，由，解得，
将面积用b表示.
（3）由,应用弦长公式，得到｜AB｜＝，
根据O到AB的距离得到代入上式并整理，解得k,b.
试题解析： （1）曲线的方程可化为：，
∴此曲线为椭圆，，
∴此椭圆的离心率．          4分
（2）设点A的坐标为，点B的坐标为，
由，解得，             6分
所以
当且仅当时， S取到最大值1．           8分
（3）由得， 
          ①
｜AB｜＝        ②
又因为O到AB的距离，所以　 ③
③代入②并整理，得
解得，，代入①式检验，△＞0 ，
故直线AB的方程是 
或或或．          14分
考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，函数的最值.