(本小题满分13分)
如图,已知抛物线,过点任作一直线与相交于两点,过点作轴的平行线与直线相交于点(为坐标原点).
(1)证明:动点在定直线上;
(2)作的任意一条切线(不含轴)与直线相交于点,与(1)中的定直线相交于点,证明:为定值,并求此定值.
(1)详见解析,(2)8.
解析试题分析:(1)证明动点在定直线上,实质是求动点的轨迹方程,本题解题思路为根据条件求出动点的坐标,进而探求动点轨迹:依题意可设AB方程为,代入,得,即.设,则有:,直线AO的方程为;BD的方程为;解得交点D的坐标为,注意到及,则有,因此D点在定直线上.(2)本题以算代征,从切线方程出发,分别表示出的坐标,再化简.设切线的方程为,代入得,即,由得,化简整理得,故切线的方程可写为,分别令得的坐标为,则,即为定值8.
试题解析:(1)解:依题意可设AB方程为,代入,得,即.设,则有:,直线AO的方程为;BD的方程为;解得交点D的坐标为,注意到及,则有,因此D点在定直线上.(2)依题设,切线的斜率存在且不等于零,设切线的方程为,代入得,即,由得,化简整理得,故切线的方程可写为,分别令得的坐标为,则,即为定值8.
考点:曲线的交点,曲线的切线方程
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
直线y=kx+b与曲线交于A、B两点,记△AOB的面积为S(O是坐标原点).
(1)求曲线的离心率;
(2)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
(3)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)如图,椭圆上的点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直,且OM(O是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行.
(1)求椭圆的离心率;
(2)过且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q,若的面积是 ,求此时椭圆的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知线段,的中点为,动点满足(为正常数).
(1)建立适当的直角坐标系,求动点所在的曲线方程;
(2)若,动点满足,且,试求面积的最大值和最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知点A,椭圆E:的离心率为;F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点
(I)求E的方程;
(II)设过点A的动直线与E 相交于P,Q两点。当的面积最大时,求的直线方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).
(1)求点P的坐标;
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线交于A,B两点,若的面积为2,求C的标准方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为时,为正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直线,且和有且只有一个公共点,
(ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知P是圆M:x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一点,点N的坐标为(2,0),线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q,当点P在圆M上运动时,点Q的轨迹为C.
(1)求出轨迹C的方程,并讨论曲线C的形状;
(2)当m=时,在x轴上是否存在一定点E,使得对曲线C的任意一条过E的弦AB,为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.
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