(本小题满分14分)
已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为时,为正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直线,且和有且只有一个公共点,
(ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
(I).(II)(ⅰ)直线AE过定点.(ⅱ)的面积的最小值为16.
解析试题分析:(I)由抛物线的定义知,
解得或(舍去).得.抛物线C的方程为.
(II)(ⅰ)由(I)知,
设,
可得,即,直线AB的斜率为,
根据直线和直线AB平行,可设直线的方程为,
代入抛物线方程得,
整理可得,
直线AE恒过点.
注意当时,直线AE的方程为,过点,
得到结论:直线AE过定点.
(ⅱ)由(ⅰ)知,直线AE过焦点,
得到,
设直线AE的方程为,
根据点在直线AE上,
得到,再设,直线AB的方程为,
可得,
代入抛物线方程得,
可求得,,
应用点B到直线AE的距离为.
从而得到三角形面积表达式,应用基本不等式得到其最小值.
试题解析:(I)由题意知
设,则FD的中点为,
因为,
由抛物线的定义知:,
解得或(舍去).
由,解得.
所以抛物线C的方程为.
(II)(ⅰ)由(I)知,
设,
因为,则,
由得,故,
故直线AB的斜率为,
因为直线和直线AB平行,
设直线的方程为,
代入抛物线方程得,
由题意,得.
设,则,.
当时,,
可得直线AE的方程为,
由,
整理可得,
直线AE恒过点.
当时,直线AE的方程为,过点,
所以直线AE过
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=2,E,F,M,N分别是矩形四条边的中点,G,H分别是线段ON,CN的中点.
(1)证明:直线EG与FH的交点L在椭圆W:上;
(2)设直线l:与椭圆W:有两个不同的交点P,Q,直线l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T,求的最大值及取得最大值时m的值.
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如图,曲线C1是以原点O为中心,F1,F2为焦点的椭圆的一部分.曲线C2是以O为顶点,F2为焦点的抛物线的一部分,A是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角,若|AF1|=,|AF2|=.
(1)求曲线C1和C2的方程;
(2)设点C是C2上一点,若|CF1|=|CF2|,求△CF1F2的面积.
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(本小题满分13分)
如图,已知抛物线,过点任作一直线与相交于两点,过点作轴的平行线与直线相交于点(为坐标原点).
(1)证明:动点在定直线上;
(2)作的任意一条切线(不含轴)与直线相交于点,与(1)中的定直线相交于点,证明:为定值,并求此定值.
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设椭圆的左、右焦点分别为,,右顶点为A,上顶点为B.已知=.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点,经过点的直线与该圆相切与点M,=.求椭圆的方程.
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设,分别是椭圆的左右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.
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如图,椭圆的焦点在x轴上,左右顶点分别为,上顶点为B,抛物线分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,与相交于直线上一点P.
(1)求椭圆C及抛物线的方程;
(2)若动直线与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同的两点M,N,已知点,求的最小值.
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已知圆的方程为,定直线的方程为.动圆与圆外切,且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)直线与轨迹相切于第一象限的点, 过点作直线的垂线恰好经过点,并交轨迹于异于点的点,求直线的方程及的长.
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已知点,的坐标分别为,.直线,相交于点,且它们的斜率之积是,记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设是曲线上的动点,直线,分别交直线于点,线段的中点为,求直线与直线的斜率之积的取值范围;
(3)在(2)的条件下,记直线与的交点为,试探究点与曲线的位置关系,并说明理由.
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