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(本小题满分14分)
已知抛物线的焦点为上异于原点的任意一点,过点的直线于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为时,为正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直线,且有且只有一个公共点
(ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

(I).(II)(ⅰ)直线AE过定点.(ⅱ)的面积的最小值为16.

解析试题分析:(I)由抛物线的定义知
解得(舍去).得.抛物线C的方程为.
(II)(ⅰ)由(I)知

可得,即,直线AB的斜率为
根据直线和直线AB平行,可设直线的方程为
代入抛物线方程得
整理可得
直线AE恒过点.
注意当时,直线AE的方程为,过点
得到结论:直线AE过定点.
(ⅱ)由(ⅰ)知,直线AE过焦点
得到
设直线AE的方程为
根据点在直线AE上,
得到,再设,直线AB的方程为
可得
代入抛物线方程得
可求得
应用点B到直线AE的距离为.
从而得到三角形面积表达式,应用基本不等式得到其最小值.
试题解析:(I)由题意知
,则FD的中点为
因为
由抛物线的定义知:
解得(舍去).
,解得.
所以抛物线C的方程为.
(II)(ⅰ)由(I)知

因为,则
,故
故直线AB的斜率为
因为直线和直线AB平行,
设直线的方程为
代入抛物线方程得
由题意,得.
,则.
时,
可得直线AE的方程为

整理可得
直线AE恒过点.
时,直线AE的方程为,过点
所以直线AE过

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