已知点,的坐标分别为,.直线,相交于点,且它们的斜率之积是,记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设是曲线上的动点,直线,分别交直线于点,线段的中点为,求直线与直线的斜率之积的取值范围;
(3)在(2)的条件下,记直线与的交点为,试探究点与曲线的位置关系,并说明理由.
(1)();(2);(3)点在曲线上.
解析试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程、点斜式求直线方程、中点坐标公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,设出P点坐标,利用斜率公式,求出直线AP、BP的斜率,计算得到曲线C的方程;第二问,设出Q点坐标,利用点斜式写出直线AQ的方程,它与x=4交于M,则联立得到M点坐标,同理得到N点坐标,利用中点坐标公式得到后,将Q点横坐标的范围代入直接得到所求范围;第三问,结合第二问得到直线AN和直线BM的方程,令2个方程联立,得到T点坐标,通过计算知T点坐标符合曲线C的方程,所以点T在曲线C上.
(1)设动点,则(且)
所以曲线的方程为(). 4分
(2)法一:设,则直线的方程为,令,则得,直线的方程为,
令,则得, 6分
∵ =
∴,∴ 8分
故
∵ ,∴,
∴,
∴,
∴直线与直线的斜率之积的取值范围为 10分
法二:设直线的斜率为,则由题可得直线的斜率为,
所以直线的方程为,令,则得,
直线的方程为,令,则得,
∴,
∴ 8分
故
∴直线与直线的斜率之积的取值范围为 10分
(3)法一:由(2)得,,
则直线的方程为,直线的方程为, 12分
由,解得
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(本小题满分14分)
已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为时,为正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直线,且和有且只有一个公共点,
(ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆的右焦点为,离心率,是椭圆上的动点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)若直线与的斜率乘积,动点满足,(其中实数为常数).问是否存在两个定点,使得?若存在,求的坐标及的值;若不存在,说明理由.
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已知抛物线上有一点到焦点的距离为.
(1)求及的值.
(2)如图,设直线与抛物线交于两点,且,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点,连接.试判断的面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由.
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已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当< 时,求实数取值范围.
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(2014·武汉模拟)已知点P是圆M:x2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一动点,点N(0,m)是圆M所在平面内一定点,线段NP的垂直平分线l与直线MP相交于点Q.
(1)当P在圆M上运动时,记动点Q的轨迹为曲线Г,判断曲线Г为何种曲线,并求出它的标准方程.
(2)过原点斜率为k的直线交曲线Г于A,B两点,其中A在第一象限,且它在x轴上的射影为点C,直线BC交曲线Г于另一点D,记直线AD的斜率为k′,是否存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,),点F2在线段PF1的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的斜率互为相反数,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.
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已知椭圆,为坐标原点,椭圆的右准线与轴的交点是.
(1)点在已知椭圆上,动点满足,求动点的轨迹方程;
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点,求的面积的最大值
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