Question

16．已知锐角α，β满足$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sin（α-β）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，则β等于$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα、cos（α-β）的值，可得tanα，tan（α-β）的值，再利用两角和差的正切公式求得tanβ=tan[（α-（α-β）]的值．

解答 解：∵锐角α，β满足$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sin（α-β）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos（α-β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α-β）}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{2}$，tan（α-β）=$\frac{sin（α-β）}{cos（α-β）}$=-$\frac{1}{3}$，
∴tanβ=tan[（α-（α-β）]=$\frac{tanα-tan（α-β）}{1+tanα•tan（α-β）}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}•\frac{1}{3}}$=1，
故β=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，属于基础题．