【题目】已知某校中小学生人数和近视情况分别如图所示.为了解该校中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方式从中抽取一个容量为50的样本进行调查.
（1）求样本中高中生、初中生及小学生的人数；
（2）从该校初中生和高中生中各随机抽取1名学生，用频率估计概率，求恰有1名学生近视的概率；
（3）假设高中生样本中恰有5名近视学生，从高中生样本中随机抽取2名学生，用
表示2名学生中近视的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）10，20，20，（2）0.5 （3）分布列见解析，
【解析】
（1）利用分层抽样计算高中生、初中生及小学生的人数即可.
（2）首先设事件
为“从该校初中生抽取1名学生是近视”，事件
为“该校高中生抽取1名学生是近视”，分别计算出
，
，再利用概率公式
计算即可.
（3）先求出
的所有取值及对应的概率，列出分布列，计算数学期望即可.
（1）采用分层抽样，样本容量与总体容量的比为：
，
所以样本中高中生、初中生及小学生的人数分别为：10，20，20.
（2）设事件为“从该校初中生抽取1名学生是近视”，
事件为“该校高中生抽取1名学生是近视”.
由题意知：
，
，
故所求概率为.
故所求概率为：
.
（3）随机变量的所有可能取值为：0，1，2.
，
，
.
所以随机变量的分布列为：
| 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
所以
.
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【题目】已知在平面直角坐标系
中，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C与椭圆
的离心率相同，且椭圆C短轴的顶点与椭圆E长轴的顶点重合.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆E有且仅有一个公共点，且与椭圆C交于不同两点A，B，求
的最大值.
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【题目】已知函数
，
的最大值为
.
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）当
时，讨论函数
的单调性；
（Ⅲ）当
时，令
，是否存在区间
.使得函数
在区间
上的值域为
若存在，求实数
的取值范围；若不存在，说明理由.
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【题目】如图，四棱柱ABCD-
中，地面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面AB
，∠BA
=60°，AB=A=2BC=2CD=2
（1）求证：BC⊥A；
（2）求二面角D-A-B的余弦值；
（3）在线段D
上是否存在点M，使得CM∥平面DA?若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
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【题目】已知椭圆
的离心率
，且椭圆过点
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设直线
与交于
、
两点，点
在椭圆上，
是坐标原点，若
，判定四边形
的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.
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【题目】如图，在四棱锥
中，四边形
是边长为2的正方形，
，
为
的中点，点
在
上，
平面
，
在
的延长线上，且
.
(1)证明:
平面
.
(2)过点
作
的平行线，与直线
相交于点
，当点
在线段
上运动时，二面角
能否等于
?请说明理由.
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