【题目】已知函数,
的最大值为
.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)当时,讨论函数
的单调性;
(Ⅲ)当时,令
,是否存在区间
.使得函数
在区间
上的值域为
若存在,求实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1) ;(2)
时,
在
单调增;
时,
在
单调递减,在
单调递增;
时,同理
在
单调递减,在
单调递增;(3)不存在.
【解析】分析:(1)利用导数研究函数的单调性,可得当时,
取得极大值,也是最大值,
由,可得结果;(2)求出
,分三种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(3)假设存在区间
,使得函数
在区间
上的值域是
,则
,问题转化为关于
的方程
在区间
内是否存在两个不相等的实根,进而可得结果.
详解:(1) 由题意得,
令,解得
,
当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减.
所以当时,
取得极大值,也是最大值,
所以,解得
.
(2)的定义域为
.
①即
,则
,故
在
单调增
②若,而
,故
,则当
时,
;
当及
时,
故在
单调递减,在
单调递增。
③若,即
,同理
在
单调递减,在
单调递增
(3)由(1)知,
所以,令
,则
对
恒成立,所以
在区间
内单调递增,
所以恒成立,
所以函数在区间
内单调递增.
假设存在区间,使得函数
在区间
上的值域是
,
则,
问题转化为关于的方程
在区间
内是否存在两个不相等的实根, 即方程
在区间
内是否存在两个不相等的实根,
令,
,则
,
设,
,则
对
恒成立,所以函数
在区间
内单调递增,
故恒成立,所以
,所以函数
在区间
内单调递增,所以方程
在区间
内不存在两个不相等的实根.
综上所述,不存在区间,使得函数
在区间
上的值域是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点P(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2=2x交于不同的两点A、B,若x轴是∠APB的角平分线,则直线l一定过点
A. (,0) B. (1,0) C. (2,0) D. (-2,0)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某汽车公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计,结果如表;
月份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
市场占有率 | 11 | 13 | 16 | 15 | 20 | 21 |
(1)可用线性回归模型拟合与
之间的关系吗?如果能,请求出
关于
的线性回归方程,如果不能,请说明理由;
(2)公司决定再采购两款车扩大市场,
两款车各100辆的资料如表:
车型 | 报废年限(年) | 合计 | 成本 | |||
1 | 2 | 3 | 4 | |||
10 | 30 | 40 | 20 | 100 | 1000元/辆 | |
15 | 40 | 35 | 10 | 100 | 800元/辆 |
平均每辆车每年可为公司带来收入元,不考虑采购成本之外的其他成本,假设每辆车的使用寿命部是整数年,用每辆车使用寿命的频率作为概率,以每辆车产生利润的平均数作为决策依据,应选择采购哪款车型?
参考数据: ,
,
,
.
参考公式:相关系数;
回归直线方程为,其中
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生,将其成绩(均为整数)分成六段,
…
后画出如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求第四小组的频率,并补全频率分布直方图;
(2)根据频率分布直方图估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
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