Question

【题目】已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

设M（x，y），P（a，b），由于M是AP的中点，点B（6，0），故可由中点坐标公式得到a＝2x﹣6，b＝2y，又P（a，b）为圆x2+y2＝1上一点动点，将a＝2x﹣6，b＝2y代入x2+y2＝1得到M（x，y）点的坐标所满足的方程，整理得点M的轨迹方程，使△（为坐标原点）为直角三角形,讨论 分别为的情况即可.

设M（x，y），P（a，b）

由B（6，0），M是AP的中点

故有a＝2x﹣6，b＝2y

又P为圆上一动点，

∴（2x﹣6）2+（2y-4）2＝4，

整理得（x﹣3）2+＝1．

故AP的中点M的轨迹方程是（x﹣3）2+＝1．

△（为坐标原点）为直角三角形，若= ，以OA为直径的圆的方程为 ，此时两圆圆心距为 ,故两圆相交，故M有两个；若=，x=4与圆（x﹣3）2+＝1相切,这样的M点有一个;若=，这样的M点不存在，故使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为3个

故选：C.