Question

【题目】一士兵要在一个半径为的圆形区域内检查是否埋有地雷，他所用的检查仪器的有效作用范围的半径为．求该士兵从该圆边界上一点出发，至少需走多少米才能将区域检测完，且回到出发点?

Answer 1

【答案】

【解析】

首先，求士兵从出发，将圆的边界上的所有点检测完回到的最短路径．

下面用反证法证明：

（1）上任意两点连线段在所围区域内（含边界），即是凸的；

（2）与圆内部无交点．

（1）否则，设、，且线段在所围区域外（如图）．

用线段代替中、间的曲线，得到另一条封闭曲线．

则曲线在所围区域内（含边界）．

对圆边界上任一点，设士兵在上的点处检测，则．

取线段与的交点为，则．

故士兵沿也可以将圆的边界上所有点检测．

但的长度小于的长度，矛盾．

（2）否则，设、，中、之间的曲线在圆内部（如图）．

过圆心作交圆于点，其中，与曲线在直线同侧．

设线段与圆交于点．

由的凸性知，曲线与的其余部分在直线两侧．

则，

即士兵沿无法检测点，矛盾．

由（1），（2）知是含点且将圆包含在内部的封闭曲线．

则的长度的最小值为（将想成套在圆上的绳子，当从点拉紧绳子时，得到绳子的最短长度为）．

易证当时，士兵可沿将圆内所有点检测．