Question

【题目】已知从有限个平面向量构成的集合中任取三个元素，其中总存在两个元素，使得.试求中元素个数的最大值.

Answer 1

【答案】7

【解析】

所求中元素个数的最大值为7.

设点、、是平面上任意三点，考虑7元集合，它显然满足条件.下面证明：中的元素不能多于7个.

当中的元素全部共线时，将所有元素的起点移至同一点，作一条与所有元素平行的直线并作出中所有元素在直线上的投影，于是，中的所有向量均对应以中元素的共同起点在上的投影为原点，直线的任意取定一个方向为正方向的数轴上的坐标.从而，问题可转化为求与原题对应的数集问题（由二维转化为一维）.

接下来证明：该数集中至多有7个元素.

首先证明：该数集中最多有3个正数.假设可能有不少于4个的元素是正数，其中，最大的4个数分别为、、、，且.

事实上，，所以，和数.而大于的元素只有一个，却有，于是，在集合或中，至少有一个集合的任意两个元素之和不在中.这与已知矛盾，故该数集中最多有3个正数.同理，该数集中最多有3个负数.加上一个0，从而，数集中至多有7个元素.

当中的元素不全共线时，将所有元素的起点移至同一点，由的有限性知可作出平面直角坐标系，使得中的元素均不与坐标轴平行.

下面证明：上半平面内至多有3个元素.

首先证明：上半平面的所有元素全不共线.假设上半平面内存在中的元素与共线，则可取与和夹角最小的元素.考虑集合，由的取法，知和均不在中（两向量的和向量在这两个向量之间）.于是，中存在，使得，从而，与、共线.考虑集合，类似上面的讨论，知中存在与、共线.如此讨论下去，知中存在无穷多个元素与、共线，矛盾.故上半平面的所有元素全不共线.

其次证明：上半平面内至多有3个元素.假设在上半平面内有不少于4个元素，按逆时针方向顺次取其中4个相邻元素、、、.考虑集合，则有；考虑集合，则有.从而，，即.这与、同在上半平面内矛盾，故上半平面内至多有3个元素.同理，下半平面内至多有3个元素.加上零向量，从而，集合中至多有7个元素.

综上所述，集合中元素个数的最大值为7.