Question

已知数列{a_n}的前项n和为S_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

1

an+2

，T_n为数列{b_n}的前项n和，求

lim

n→∞

T_n的值；
（3）数列{a_n}中是否存在三项a_r，a_s，a_t（r＜s＜t）成等差数列？若存在．请求出一组适合条件的项；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得{a_n+2}是首项为a₁+2=4，公比为2的等比数列．由此能求出a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）b_n=

1

an+2

=

1

2n+1-2+2

=

1

2n+1

，由此利用裂项求和法能求出T_n=

1

2

-

1

2n+1

，从而得到

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

（

1

2

-

1

2n+1

）=

1

2

．
（3）假设存在这样3项，则有a_r+a_t=2a_s，r＜s＜t，从而1+2^t-r=2^（s-r+1），由此推导出数列{a_n}中不存在三项a_r，a_s，a_t（r＜s＜t）成等差数列．

解答： 解：（1）a₁=S₁=2a₁-2，a₁=2．
a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2-2a_n，
a_n+1=2a_n+2，
a_n+1+2=2（a_n+2），
{a_n+2}是首项为a₁+2=4，公比为2的等比数列．
a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）b_n=

1

an+2

=

1

2n+1-2+2

=

1

2n+1

，
T_n=

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n+1

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

2

-

1

2n+1

，
∴

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

（

1

2

-

1

2n+1

）=

1

2

．
（3）假设存在这样3项，则有
a_r+a_t=2a_s，r＜s＜t，
∴2^r+1-2+2^t+1-2=2（2^s+1-2）
整理得到
2^r+2^t=2^s+1，
两边同时除以2^r，
1+2^t-r=2^（s-r+1），
等式左边为奇数+偶数，其结果必然为奇数，
等式右边为偶数，故上述等式不能成立，
∴数列{a_n}中不存在三项a_r，a_s，a_t（r＜s＜t）成等差数列．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的极限值的求法，考查等差数列的判断与求法，解题时要认真审题，注意等比数列和等差数列的性质的合理运用．