Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx+

3

cosx）
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，

π

6

]，使得m[f（x）+

3

]+2=0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）+

3

，易得值域和最小正周期；
（2）由x∈[0，

π

6

]可得sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，1]，进而可得f（x）-

3

=2sin（2x+

π

3

）∈[

3

，2]，由题意可得m的不等式组，解之可得．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=2cosx（sinx+

3

cosx）
=2sinxcosx+2

3

cos²x=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1．
∴f（x）的值域为[-2+

3

，2+

3

]，最小正周期为T=

2π

2

=π．
（2）当x∈[0，

π

6

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，1]
∴f（x）-

3

=2sin（2x+

π

3

）∈[

3

，2]．
由m[f（x）-

3

]+2=0知m≠0，∴f（x）-

3

=-

2

m

，即

3

≤-

2

m

≤2，
解得-

2 3

3

≤m≤-1．即实数m的取值范围是[-

2 3

3

，-1]

点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．