Question

已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为，求该圆的方程．

 

Answer 1

(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，或(x－1)2＋(y－1)2＝2.

【解析】设圆P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.

由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为r.

故2|b|＝r，得r2＝2b2，

又圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r2＝a2＋1，得2b2－a2＝1.

又因为P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为，得d＝＝，即有a－2b＝±1，

综上所述得解得于是r2＝2b2＝2.

所求圆的方程是(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，或(x－1)2＋(y－1)2＝2.