Question

14．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）设点M的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|•|MB|

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．
（Ⅱ）先求出直线l的参数方程，与曲线C的直角坐标方程联立，得t²+2（cosθ-sinθ）t-2=0，利用参数的几何意义能求出|MA|•|MB|．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-4y=0，
∴曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ=0，
即曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．…5分
（Ⅱ）设直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（α为参数）①
曲线C的直角坐标方程是x²+y²-4y=0，②
①②联立，得t²+2（cosθ-sinθ）t-2=0，
∴t₁t₂=-2，
∴|MA|•|MB|=2…10分

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查参数方程的运用，是中档题．