Question

3．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中（单位长度相同），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求出A，B的坐标，即可求弦长|AB|．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ，直角坐标方程为y²=8x；
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为y=$\sqrt{3}$（x-2），
代入抛物线方程，可得3x²-20x+12=0，∴x=6或$\frac{2}{3}$，
∴A（6，4$\sqrt{3}$），B（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴|AB|=$\sqrt{（6-\frac{2}{3}）^{2}+（4\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．