Question

8．定义域为R的偶函数f（x）满足?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若函数y=f（x）-log_a（x+1）恰有三个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• C． （$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• D． （$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，令g（x）=log_a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象恰有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），且f（4）＞g（4），求得a的取值范围．

解答 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），
且f（x）是定义域为R的偶函数，
令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
又f（-1）=f（1），
可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²，
函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．
函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上恰有三个零点，
令g（x）=log_a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象恰有3个交点．
作出函数的图象，如图所示，
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．
要使函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上恰有三个零点，
则有g（2）＞f（2）且f（4）＞g（4），即 log_a（2+1）＞f（2）=-2，且-2＞log_a（4+1），
解得$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 此题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．