Question

18．设实数x，y满足x+$\frac{y}{4}$=1．
（1）若|7-y|＜2x+3，求x的取值范围；
（2）若x＞0，y＞0，求证：$\sqrt{xy}$≥xy．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由x+$\frac{y}{4}$=1，则y=4-4x，则|7-y|＜2x+3，可得|4x+3|＜2x+3，解可得x的范围，即可得答案；
（2）根据题意，由基本不等式可得1=x+$\frac{y}{4}$≥2$\sqrt{x•\frac{y}{4}}$=$\sqrt{xy}$，即$\sqrt{xy}$≤1，用作差法分析可得$\sqrt{xy}$-xy=$\sqrt{xy}$（1-$\sqrt{xy}$），结合$\sqrt{xy}$的范围，可得$\sqrt{xy}$-xy≥0，即可得证明．

解答 解：（1）根据题意，若x+$\frac{y}{4}$=1，则4x+y=4，即y=4-4x，
则由|7-y|＜2x+3，可得|4x+3|＜2x+3，
即-（2x+3）＜4x+3＜2x+3，
解可得-1＜x＜0；
（2）证明：x＞0，y＞0，1=x+$\frac{y}{4}$≥2$\sqrt{x•\frac{y}{4}}$=$\sqrt{xy}$，即$\sqrt{xy}$≤1，
$\sqrt{xy}$-xy=$\sqrt{xy}$（1-$\sqrt{xy}$），
又由0＜$\sqrt{xy}$≤1，则$\sqrt{xy}$-xy=$\sqrt{xy}$（1-$\sqrt{xy}$）≥0，
即$\sqrt{xy}$≥xy．

点评 本题考查基本不等式、绝对值不等式的应用，关键是利用x+$\frac{y}{4}$=1分析变量x、y之间的关系．