Question

7．设f（x）=|x-1|+|x+1|，（x∈R）
（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若存在非零实数b使不等式f（x）≥$\frac{|2b+1|+|1-b|}{|b|}$成立，求负数x的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出$\frac{|2b+1|+|1-b|}{|b|}$的最小值，问题转化为f（x）≥3，即|x-1|+|x+1|≥3，分类讨论，求出负数x的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）≤4，即|x-1|+|x+1|≤4，
x≥1时，x-1+x+1≤4，解得：1≤x≤2，
-1＜x＜1时，1-x+x+1=2＜4成立，
x≤-1时，1-x-x-1=-2x≤4，解得：x≥-2，
综上，不等式的解集是[-2，2]；
（Ⅱ）由$\frac{|2b+1|+|1-b|}{|b|}$≥$\frac{|2b+1+b-1|}{|b|}$=3，
若存在非零实数b使不等式f（x）≥$\frac{|2b+1|+|1-b|}{|b|}$成立，
即f（x）≥3，即|x-1|+|x+1|≥3，
x≤-1时，-2x≥3，∴x≤-1.5，∴x≤-1.5；
-1＜x≤1时，2≥3不成立；
x＞1时，2x≥3，∴x≥1.5，∴x≥1.5．
综上所述x≤-1.5或x≥1.5，
故负数x的最大值是-1.5．

点评 本题考查三角不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．