Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-m}，x＜2}\\{\frac{mx}{4{x}^{2}+16}，x≥2}\end{array}\right.$，对任意的x₁∈[2，+∞）总存在x₂∈（-∞，2]，使得f（x₁）=f（x₂），则实数m的取值范围是（　　）

• A． [2，4）
• B． （-∞，4]
• C． [3，4）
• D． （0，4）

Answer 1

分析 分类讨论，利用x≥2时函数的值域是x＜2的子集，即可得出结论．

解答 解：由题意，m≤0，x≥2，f（x）＜0，x＜2，f（x）＜2^2-m，满足题意，
m＞0，x＜2，f（x）＜2^2-m，x≥2，f（x）=$\frac{m}{4x+\frac{16}{x}}$≤$\frac{m}{16}$，
∵对任意的x₁∈[2，+∞）总存在x₂∈（-∞，2]，使得f（x₁）=f（x₂），
∴2^2-m≥$\frac{m}{16}$，∴m≤4，∴0＜m≤4，
综上所述，m≤4．
故选B．

点评 本题考查分段函数的运用，考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．