Question

13．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点P（0，$\sqrt{3}$）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点），是否存在实数λ，使$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率求得a²=2b²，椭圆的通径丨AB丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；
（2）设直线l的方程，y=kx+$\sqrt{3}$，代入椭圆方程，利用韦达定理定理及向量数量积的坐标运算，表示出$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$=-（1-λ）+$\frac{3λ+6}{1+2{k}^{2}}$，则当λ=-2时，-（1-λ）+$\frac{3λ+6}{1+2{k}^{2}}$=-3，则存在实数λ，使$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$为定值

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a²=2b²，①
则丨AB丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，则b²=a，②
解得：a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+$\sqrt{3}$，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4$\sqrt{3}$kx+2=0，△=（4$\sqrt{3}$k）²-4×（1+2k²）×2＞0，解得：k²＞$\frac{1}{4}$，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{3}k}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2}{2{k}^{2}+1}$，从而，$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$=x₁x₂+y₁y₂+λ[x₁x₂+（y₁-$\sqrt{3}$）（y₂-$\sqrt{3}$）]，
=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+$\sqrt{3}$k（x₁+x₂）+3，
=（1+λ）（1+k²）×$\frac{2}{2{k}^{2}+1}$+$\sqrt{3}$k×（-$\frac{4\sqrt{3}k}{2{k}^{2}+1}$）+3，
=$\frac{-2{k}^{2}（1-λ）+2λ+5}{1+2{k}^{2}}$，
=-（1-λ）+$\frac{3λ+6}{1+2{k}^{2}}$，
∴当λ=-2时，-（1-λ）+$\frac{3λ+6}{1+2{k}^{2}}$=-3，此时$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$=-3，
故存在常数λ=-2，使得$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$为定值-3．

点评 本题考查椭圆标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．