Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{2}{3}$，C为椭圆上位于第一象限内的一点．
（1）若点C的坐标为（2，$\frac{5}{3}$），求a，b的值；
（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的离心率求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，将（2，$\frac{5}{3}$）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；
（2）方法二：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my-a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，则直线直线AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；方法二：由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，y₂=2y₁，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，①
由点C在椭圆上，将（2，$\frac{5}{3}$）代入椭圆方程，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{25}{9{b}^{2}}=1$，②
解得：a²=9，b²=5，
∴a=3，b=$\sqrt{5}$，
（2）方法一：由（1）可知：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，则椭圆方程：5x²+9y²=5a²，
设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my}\\{5{x}^{2}+9{y}^{2}=5{a}^{2}}\end{array}\right.$，消去x整理得：5m²y²+9y²=5a²，
∴y²=$\frac{5{a}^{2}}{5{m}^{2}+9}$，由y₂＞0，则y₂=$\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{5{m}^{2}+9}}$，
由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my-a，
则$\left\{\begin{array}{l}{x=my-a}\\{5{x}^{2}+9{y}^{2}=5{a}^{2}}\end{array}\right.$，整理得：（5m²+9）y²-10amy=0，
由y=0，或y₁=$\frac{10am}{5{m}^{2}+9}$，
由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，则（x₁+a，y₁）=（$\frac{1}{2}$x₂，$\frac{1}{2}$y₂），
则y₂=2y₁，
则$\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{5{m}^{2}+9}}$=2×$\frac{10am}{5{m}^{2}+9}$，（m＞0），
解得：m=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
则直线AB的斜率$\frac{1}{m}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
方法二：由（1）可知：椭圆方程5x²+9y²=5a²，则A（-a，0），
B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，则（x₁+a，y₁）=（$\frac{1}{2}$x₂，$\frac{1}{2}$y₂），则y₂=2y₁，
由B，C在椭圆上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{x}_{2}^{2}+9{y}_{2}^{2}=5{a}^{2}}\\{5（\frac{1}{2}{x}_{2}-a）^{2}+9（\frac{{y}_{2}}{2}）^{2}=5{a}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{a}{4}}\\{{y}_{2}=\frac{5a}{4\sqrt{3}}}\end{array}\right.$，
则直线直线AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
直线AB的斜率$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．