Question

11．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=acosθ\\ y=bsinθ\end{array}\right.$（a＞b＞0，θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=r（r＞0）．
（1）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；
（2）若b＜r＜a，求由两曲线C₁与C₂交点围成的四边形面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）方程化为普通方程，即可讨论两曲线公共点的个数；
（2）若b＜r＜a，两曲线均关于x，y轴、原点对称，四边形也关于x，y轴、原点对称，即可求由两曲线C₁与C₂交点围成的四边形面积的最大值．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=acosθ\\ y=bsinθ\end{array}\right.$（a＞b＞0，θ为参数），普通方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
曲线C₂的极坐标方程为ρ=r（r＞0），直角坐标方程为x²+y²=r²，
r=a或b时，两曲线有两个公共点；
b＜r＜a时，两曲线有四个公共点；
0＜r＜b或r＞a时，两曲线无公共点；
（2）两曲线均关于x，y轴、原点对称，
∴四边形也关于x，y轴、原点对称，
设四边形位于第一象限的点为（acosθ，bsinθ），
则四边形的面积为S=4acosθ•bsinθ=2absin2θ≤2ab，
当且仅当sin2θ=1，即θ=45°时，等号成立．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，考查三角函数知识的运用，属于中档题．