Question

10．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），当x∈（-2，0），f（x）=2^x，则f（2012）-f（2011）的值为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 由f（x+4）=f（x），可得f（x）是以4为周期的函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，故f（0）=0，利用函数的周期性与奇偶性即可求得答案．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
又 x∈（-2，0）时，f（x）=2^x，
∴f（-1）=2^-1=$\frac{1}{2}$，
又f（x）=f（x+4），
∴f（x）是以4为周期的函数，
∴f（2012）=f（4×503）=f（0）=0，
f（2011）=f（4×503-1）=f（-1）=$\frac{1}{2}$，
∴f（2012）-f（2011）=0-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数求值，难度中档．