Question

已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-a）．
（1）当a=4时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≤1的解集不是空集，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=4时，f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-4）．根据使函数的解析式有意义的原则，构造不等式|x+1|+|x-2|-4＞0，进而利用零点分段法解不等式，可得函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≤1的解集不是空集，则0＜|x+1|+|x-2|-a≤2的解集不是空集，即a＜|x+1|+|x-2|≤2+a的解集不是空集，利用绝对值的性质，可得满足条件的a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=4时，f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-4）．
若使函数的解析式有意义，自变量x须满足：|x+1|+|x-2|-4＞0，…①
当x＜-1时，①可化为：-2x-3＞0，解得x＜-

3

2

，
∴x＜-

3

2

；
当-1≤x≤2时，①可化为：-1＞0，恒不成立，
∴不存在满足条件的x值；
当x＞2时，①可化为：2x-5＞0，解得x＞

5

2

，
∴x＞

5

2

，
综上所述，x＜-

3

2

，或x＞

5

2

，
故当a=4时，求函数f（x）的定义域为（-∞，-

3

2

）∪（

5

2

，+∞）；
（2）若不等式f（x）≤1的解集不是空集，
则0＜|x+1|+|x-2|-a≤2的解集不是空集，
即a＜|x+1|+|x-2|≤2+a的解集不是空集，
∵|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|（x+1）+（2-x）|=3，
故3≤2+a，
解得：a≥1，
即a的取值范围为[1，+∞）．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，绝对值函数，难度中档．