Question

已知函数f（x）=x³-3x（x∈R）．
（1）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个不同交点，求实数b的取值范围；
（2）若?x∈[-3，3]时，f（x）+m＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-3，利用导数性质求出x=-1时，f（x）取极大值f（-1）=2，x=1时，f（x）取极小值f（1）=-2．由直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个不同交点，结合函数图象，知实数b的取值范围是（-2，2）．
（2）由导数性质求出f（x）_max=f（3）=18，由f（x）+m＜0恒成立，知-m＞f（x）_max=f（3）=18，由此能求出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3x（x∈R），
∴f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=3x²-3＞0，得x＜-1或x＞1．
由f′（x）=3x²-3＜0，得-1＜x＜1．
∴f（x）=x³-3x的增区间为（-∞，-1），（1，+∞），减区间为（-1，1），
∴x=-1时，f（x）取极大值f（-1）=2，
x=1时，f（x）取极小值f（1）=-2．
直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个不同交点，
结合函数图象，知实数b的取值范围是（-2，2）．
（2）由（1）知x=-1时，f（x）取极大值f（-1）=2，
x=1时，f（x）取极小值f（1）=-2，
又f（-3）=-18，f（3）=18，
∴f（x）_max=f（3）=18，
∵f（x）+m＜0恒成立，
∴-m＞f（x）_max=f（3）=18，
∴m＜18．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，涉及到函数在闭区间上的极值和最值的求法、函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和数形结合思想的合理运用．