Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），过焦点F作动直线交C于A，B两点，过A，B分别作圆D：（x-

p

2

）²+y²=1的两条切线，切点分别为P，Q．若AB垂直于x轴时，

1

sin∠PAF

+

1

sin∠QBF

=4．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）若点H也在曲线C上，O为坐标原点，且

OA

+

OB

=t

OH

，|

HA

-

HB

|＜8，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量的基本定理及其意义

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）AB垂直于x轴时，|AF|=|BF|=p．如图所示，由切线的性质可得PF⊥AP．在Rt△APF中，sin∠PAF=

1

p

，同理可得sin∠QBF=

1

p

．即可解出p．
（Ⅱ）设直线AB的方程为x-1=my，A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)．直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式由|

HA

-

HB

|＜8，|

BA

|＜8，可得

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

＜8，m²＜1．由

OA

+

OB

=t

OH

，t≠0．利用向量坐标运算可得

OH

=

1

t

(

y 2 1 + y 2 2

4

，y1+y2)=(

4m2+2

t

，

-4

t

)．把点H的坐标代入抛物线方程即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）AB垂直于x轴时，|AF|=|BF|=p．
如图所示，由切线的性质可得PF⊥AP．
在Rt△APF中，sin∠PAF=

1

p

，
同理可得sin∠QBF=

1

p

．
∵

1

sin∠PAF

+

1

sin∠QBF

=4，
∴2p=4，解得p=2．
∴抛物线方程为y²=4x；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x-1=my，A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)．
联立

x-1=my y2=4x

，化为y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
∵|

HA

-

HB

|＜8，∴|

BA

|＜8，
∴

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)(16m2+16)

＜8，化为1+m²＜2，即m²＜1．
∵

y

2 1

+

y

2 2

=(y1+y2)2-2y1y2=16m²+8．

OA

+

OB

=t

OH

，t≠0．
∴

OH

=

1

t

(

y 2 1 + y 2 2

4

，y1+y2)=(

4m2+2

t

，

-4

t

)．
∵点H也在曲线C上，∴

16

t2

=

4(4m2+2)

t

．
化为t=

2

2m2+1

，
∵0≤m²＜1．
∴

2

3

＜t≤2．
∴t的取值范围是：(

2

3

，2]．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线方程与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、向量的坐标运算，考查了推理能力和计算能力，属于难题．