Question

设函数f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

为奇函数，
（1）求a的值；
（2）若对任意t∈[1，2]有f（m•2^t-2）+f（2^t）≥0，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于函数f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

为奇函数，且定义域为R，利用f（0）=0，解得a并验证即可．
（2）先判定函数f（x）的单调性，再利用奇偶性即可得出：对任意t∈[1，2]有f（m•2^t-2）+f（2^t）≥0?对任意t∈[1，2]有f（m•2^t-2）≥f（-2^t）?m•2^t-2≥-2^t，对任意t∈[1，2]恒成立．分离参数，利用指数函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

为奇函数，且定义域为R，∴f（0）=2a-2=0，解得a=1．
∴f（x）=

2x-1

2x+1

，经过验证此函数是奇函数．
（2）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

．∵函数y=2^x在R上单调递增，∴函数y=

1

2x+1

在R上单调递减，∴函数y=-

2

2x+1

在R上单调递增．因此f（x）=

2x-1

2x+1

在R上单调递增．
对任意t∈[1，2]有f（m•2^t-2）+f（2^t）≥0?对任意t∈[1，2]有f（m•2^t-2）≥f（-2^t），
∴m•2^t-2≥-2^t，对任意t∈[1，2]恒成立．
化为（m+1）≥

2

2t

，对任意t∈[1，2]恒成立．
∵当t∈[1，2]时，

1

2

≤

2

2t

≤1，
∴m+1≥1，解得m≥0．
∴m的取值范围是m≥0．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分离参数法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．