Question

已知f（x）=2x²+bx+c，若f（x）＜0的解集为（0，5），且关于x的不等式-1≤f（x）+m≤2，在x∈[-1，1]内有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）＜0的解集为（0，5），故0，5为方程2x²+bx+c的两个根，进而由韦达定理求出b，c值后，可得f（x）的解析式，若关于x的不等式-1≤f（x）+m≤2，在x∈[-1，1]内有解，即-1-m≤f（x）≤2-m在x∈[-1，1]内有解，结合二次函数的图象和性质，构造不等式，解得实数m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）＜0的解集为（0，5），
故0，5为方程2x²+bx+c的两个根，
故0+5=5=-

b

2

，0×5=0=

c

2

，
解得：b=-10，c=0，
∴f（x）=2x²-10x，
若-1≤f（x）+m≤2在x∈[-1，1]内有解，
即-1-m≤f（x）≤2-m在x∈[-1，1]内有解，
由f（x）=2x²-10x在[-1，1]上为减函数，
故在x∈[-1，1]时，-8≤f（x）≤12，
故-8≤-1-m≤12，或-8≤2-m≤12，
解得m∈[-13，7]∪[-10，10]=[-13，10]，
即实数m的取值范围[-13，10]

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，方程根与不等式解集的关系，存在性问题，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．