Question

已知a为给定的正实数，m为实数，函数f（x）=ax³-3（m+a）x²+12mx+1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，3）上无极值点，求m的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，3），使得f（x₀）是f（x）在[0，3]上的最值，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ） 由题意得f′（x）=3ax²-6（m+a）x+12m=3（x-2）（ax-2m），由此利用导数性质能求出m=a．
（Ⅱ） 由f′（x）=3（x-2）（ax-2m），利用分类讨论思想和导数性质能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ） 由题意得
f′（x）=3ax²-6（m+a）x+12m=3（x-2）（ax-2m），
由于f（x）在（0，3）上无极值点，故

2m

a

=2，
所以m=a．…（5分）
（Ⅱ） 由于f′（x）=3（x-2）（ax-2m），故：
（i） 当

2m

a

≤0或

2m

a

≥3，即m≤0或m≥

3

2

a时，
取x₀=2即满足题意．此时m≤0或m≥

3

2

a．
（ii） 当0＜

2m

a

＜2，即0＜m＜a时，列表如下：

x	0	（0， 2m a ）	2m a	（ 2m a ，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增	9m+1

故f（2）≤f（0）或f（

2m

a

）≥f（3），
即-4a+12m+1≤1或

-4m3+12m2a

a2

+1≥9m+1，
即3m≤a或

-m(2m-3a)2

a2

≥0，
即m≤

a

3

或m≤0或m=

3a

2

．
此时0＜m≤

a

3

．
（iii） 当2＜

2m

a

＜3，即a＜m＜

3a

2

时，列表如下：

x	0	（0，2）	2	（2， 2m a ）	2m a	（ 2m a ，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增	9m+1

故f（

2m

a

）≤f（0）或f（2）≥f（3），
即

-4m3+12m2a

a2

+1≤1或-4a+12m+1≥9m+1，
即

-4m2(m-3a)

a2

≤0或3m≥4a，
即m=0或m≥3a或m≥

4a

3

．
此时

4a

3

≤m＜

3a

2

．
综上所述，实数m的取值范围是m≤

a

3

或  m≥

4a

3

． …（14分）

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．