Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，BE＜CF，∠BCF=

π

2

，AD=

3

，EF=2CD=2．
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABE；
（Ⅱ）求直线AF与平面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得AB∥CD，由此得到平面ABE∥平面DCF，从而能证明DF∥平面ABE．
（Ⅱ）过点E作GE⊥CF交CF于点G，分别以C为原点，CB、CD、CF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面ABCD所成的角．

解答： （Ⅰ）证明：∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∵BE∥CF，AB∩BE=B，
∴平面ABE∥平面DCF，
∵DF?平面DCF，∴DF∥平面ABE．
（Ⅱ）解：过点E作GE⊥CF交CF于点G，
由已知可得：EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，
∴EG=AD=

3

，又EF=2，∴GF=1
∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥BC
∵∠BCF=

π

2

，∴FC⊥BC，
又平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC
∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥CD，
∴分别以C为原点，CB、CD、CF所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设BE=m，

AB

BE

=λ，则AB=λm，
∴A（

3

，λm，0），E（

3

，0，m），F（0，0，m+1），D（0，λm，0），
平面AFE的法向量

n

=（λ，

3

，

3

λ），又CD⊥面CEF，
∴

CD

=（0，λm，0）是平面CEF的一个法向量，
∴cos

π

3

=|

CD

，

n

|=

3 λm

λm• λ2+3+3λ2

=

1

2

，解得λ=

3

2

，
∵AD=

3

，EF=2CD=2，∴AB=1，
∴BE=

2

3

，∴CF=

5

3

，
∴F（0，0，

5

3

），A（

3

，1，0），

AF

=(-

3

，-1，

5

3

)，
又平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
设直线AF与平面ABCD所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

AF

，

n

＞|=

5 3

3+1+ 25 9

=

5 61

61

．
∴直线AF与平面ABCD所成的角为arcsin

5 61

61

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．