Question

已知函数f（x）=ax³-

3

2

x²+1（x∈R），其中a＞0
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在区间（1，2）单调递减，求实数a的取值范围
（Ⅱ）若在区间[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）若曲线y=f（x）在区间（1，2）单调递减，f′（x）=3ax²-3x≤0在区间（1，2）上恒成立，分离参数，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）分类讨论，利用在区间[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³-

3

2

x²+1，
∴f′（x）=3ax²-3x，
∵y=f（x）在区间（1，2）单调递减，
∴f′（x）=3ax²-3x≤0在区间（1，2）上恒成立，
∴a≤

1

x

在区间（1，2）上恒成立，
∴a≤

1

2

（Ⅱ）a≠0时，x=1，x=

1

a

是两个极值点．
a＞0时，f（

1

2

）=

a

8

+

5

8

＞0且x＞0时函数是减函数，f（-

1

2

）=-

a

8

+

5

8

＞0，
∴0＜a＜5．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．